تمرین ۲ محاسبه نسبتهای مثلثاتی جمع و تفریق زوایا حسابان یازدهم
فرض کنید $\cos \alpha = \frac{۴}{۵}$ و انتهای کمان $\alpha$ در ربع اول و انتهای کمان $\beta$ در ربع دوم قرار دارد. اکنون به سؤالات زیر پاسخ دهید:
الف) مقدار دقیق $\sin(\alpha + \beta)$ و $\cos(\alpha - \beta)$ چیست؟
ب) انتهای زاویه $\alpha + \beta$ در کدام ربع قرار میگیرد؟
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۱۱۲ حسابان یازدهم
سلام! برای استفاده از فرمولهای جمع و تفریق، ابتدا باید مقادیر $\sin \alpha$ و $\sin \beta$ را با توجه به ربعهای داده شده، پیدا کنیم. 📐
### گام اول: محاسبه $\sin \alpha$ و $\sin \beta$
از رابطه اصلی مثلثات $\mathbf{\sin^۲ x + \cos^۲ x = ۱}$ استفاده میکنیم.
**۱. برای زاویه $\alpha$**: ($\cos \alpha = \frac{۴}{۵}$، ربع اول $\implies \sin \alpha > ۰$)
$$\sin^۲ \alpha = ۱ - (\frac{۴}{۵})^۲ = ۱ - \frac{۱۶}{۲۵} = \frac{۹}{۲۵}$$
$$\mathbf{\sin \alpha = \frac{۳}{۵}}$$
**۲. برای زاویه $\beta$**: ($\cos \beta = -\frac{۱۲}{۱۳}$، ربع دوم $\implies \sin \beta > ۰$)
$$\sin^۲ \beta = ۱ - (-\frac{۱۲}{۱۳})^۲ = ۱ - \frac{۱۴۴}{۱۶۹} = \frac{۲۵}{۱۶۹}$$
$$\mathbf{\sin \beta = \frac{۵}{۱۳}}$$
---
### الف) محاسبه $\sin(\alpha + \beta)$ و $\cos(\alpha - \beta)$
**۱. محاسبه $\sin(\alpha + \beta)$**
$$\mathbf{\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}$$
$$\sin(\alpha + \beta) = (\frac{۳}{۵})(-\frac{۱۲}{۱۳}) + (\frac{۴}{۵})(\frac{۵}{۱۳})$$
$$\sin(\alpha + \beta) = -\frac{۳۶}{۶۵} + \frac{۲۰}{۶۵} = \mathbf{-\frac{۱۶}{۶۵}}$$
**۲. محاسبه $\cos(\alpha - \beta)$**
$$\mathbf{\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}$$
$$\cos(\alpha - \beta) = (\frac{۴}{۵})(-\frac{۱۲}{۱۳}) + (\frac{۳}{۵})(\frac{۵}{۱۳})$$
$$\cos(\alpha - \beta) = -\frac{۴۸}{۶۵} + \frac{۱۵}{۶۵} = \mathbf{-\frac{۳۳}{۶۵}}$$
---
### ب) انتهای زاویه $\alpha + \beta$ در کدام ربع قرار میگیرد؟
**۱. تعیین علامت نسبتها**:
* $\sin(\alpha + \beta) = -\frac{۱۶}{۶۵} \quad \mathbf{(منفی)}$
* $\cos(\alpha + \beta)$: باید محاسبه شود.
$$\mathbf{\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}$$
$$\cos(\alpha + \beta) = (\frac{۴}{۵})(-\frac{۱۲}{۱۳}) - (\frac{۳}{۵})(\frac{۵}{۱۳})$$
$$\cos(\alpha + \beta) = -\frac{۴۸}{۶۵} - \frac{۱۵}{۶۵} = -\frac{۶۳}{۶۵} \quad \mathbf{(منفی)}$$
**۲. تعیین ربع**:
* اگر $\sin$ منفی و $\cos$ منفی باشد، انتهای کمان در **ربع سوم** قرار میگیرد.
**نتیجه**: انتهای زاویه $\mathbf{\alpha + \beta}$ در **ربع سوم** قرار میگیرد.
